Notes

第4章 量子力学的矩阵形式与表象理论

4.1 矩阵力学

本节可以视作《线性代数入门》第7章“线性空间和线性映射”在量子力学中的具体应用，在后续部分会具体给出参考小节。

量子态和力学量算符的矩阵表示

量子态的矩阵表示

本部分可参考《线性代数入门》第7.4节“向量的坐标表示”。

任何一个可归一化的量子态 $\psi$ 可以看成抽象的Hilbert空间中的一个矢量，体系的任何一组对易力学量完全集 $F$ 的共同本征态 ${\psi_k(x)}$ （先假定为离散谱）可以用来构成此态空间的一组正交归一完备的基矢（满足 $(\psi_k,\psi_j)=\delta_{kj}$ ），称为 $F$ 表象， $F$ 中的任意算符 $\hat{A}$ 有如下本征方程

$$\hat{A} \psi_{k} = A_k \psi_k$$

体系的任何一个态 $\psi$ 可以用基矢 ${\psi_k}$ 展开：

$$\psi(x,t) = \sum_{k} a_k(t)\ \psi_k(x)$$

其中 $a_k(t) = (\psi_k,\psi)$ ，则这一组数 $(a_1,a_2,\cdots)$ 就是态 $\psi$ 在 $F$ 表象中的表示， ${a_k(t),\ k=1,2,\cdots}$ 称为 $F$ 表象中的“波函数”。则 $F$ 表象中的态矢量为

$$\Psi(t) = \begin{bmatrix} a_1(t) \ a_2(t) \ \vdots \ a_n(t) \ \vdots \end{bmatrix}$$

这样就用一个向量表示了波函数，应当注意，这里的向量是一个复量，而且空间维数可以是无穷，有时甚至是不可数（连续谱）。

此时态的内积可以表示为

$$(\psi,\psi) = \Psi^+ \Psi = \begin{bmatrix} a_1^$$(t) & a_2^(t) & \cdots & a_n^*(t) & \cdots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1(t) \ a_2(t) \ \vdots \ a_n(t) \ \vdots \end{bmatrix} = \sum_{k} |a_k(t)|^2

对于连续谱和多自由度情形，态 $\psi$ 可展开为

$$\psi(x,t) = \sum_k a_k(t)\ \psi_k(x) + \int a_\lambda(t)\ \psi_\lambda(x)\ \mathrm{d}\lambda$$

其中 $a_k(t) = (\psi_k,\psi),\ a_\lambda(t) = (\psi_\lambda,\psi)$ ， $F$ 表象中的态矢量为

$$\Psi(t) = \begin{bmatrix} a_1(t) \ a_2(t) \ \vdots \ a_n(t) \ \vdots \ a_\lambda(t) \end{bmatrix}$$

这里的 $a_\lambda(t)$ 是不可数的，只表示性的列出即可。

例：一维无限深方势阱中的态函数在能量表象中的矩阵表示

设一粒子在一维无限深方势阱

$$V(x) = \begin{cases} 0, & 0<x<a \ \infty, & 0<x,x>a \end{cases}$$

中运动，状态为

$$\psi(x) = \frac{4}{\sqrt{a}} \cos^2\frac{\pi x}{a}\sin\frac{\pi x}{a} \kern 2em (0<x<a)$$

一维无限深方势阱内部的能量本征函数表示为

$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\frac{n\pi x}{a} \kern 2em (0<x<a\ ,\ n=1,2,3,\cdots)$$

设状态 $\psi$ 在本征函数系下的展开为

$$\psi(x) = \sum_n a_n\ \psi_n(x)$$

则展开系数

$$a_n = (\psi_n,\psi) = \frac{4\sqrt{2}}{a} \int_{0}^{a} \cos^2\frac{\pi x}{a} \sin\frac{\pi x}{a} \sin\frac{n\pi x}{a} \mathrm{d}x \ \ \ = \frac{1}{\sqrt{2}a} \int_{0}^{a} \left( \cos\frac{(n-1)\pi x}{a} + \cos\frac{(n-3)\pi x}{a} - \cos\frac{(n+1)\pi x}{a} - \cos\frac{(n+3)\pi x}{a} \right) \mathrm{d}x \ \ \ = \frac{1}{\sqrt{2}}\delta_{1n} + \frac{1}{\sqrt{2}}\delta_{3n} = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2}} & n=1,3 \ 0 & n \ne 1,3 \end{cases}$$

故能量表象中的态矢量为

$$\Psi = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \ 0 \ \frac{1}{\sqrt{2}} \ 0 \ \vdots \ 0 \ \vdots \end{bmatrix}$$

力学量算符的矩阵表示

本部分可参考《线性代数入门》第7.5节“线性映射的矩阵表示”。

设量子态 $\psi$ 经过算符 $\hat{A}$ 运算后变成另一个态 $\phi$ ，即

$$\phi = \hat{A} \psi$$

在以力学量完全集 $F$ 的正交归一化本征函数系 ${\psi_k(x)}$ （假定为离散谱）为基矢的表象中，将 $\psi,\phi$ 展开，表示为

$$\sum_k b_k(t)\psi_k = \sum_k a_k(t) \hat{A}\psi_k$$

两边乘 $\psi_j^*$ ，积分，得

$$b_j(t) = \sum_k a_k(t)\ (\psi_j,\hat{A}\psi_k) = \sum_k A_{jk} a_k(t)$$

其中 $A_{jk} = (\psi_j,\hat{A}\psi_k)$ ，对于上述式子，可以表示成矩阵乘向量的形式，即

$$\begin{bmatrix} b_1(t) \ b_2(t) \ \vdots \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots \ A_{21} & A_{22} & \cdots \ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1(t) \ a_2(t) \ \vdots \ \end{bmatrix}$$

记其中的矩阵为 $A$ ，则

$$\Phi(t) = A \Psi(t)$$

力学量算符对应矩阵的性质

表示力学量算符 $\hat{A}$ 的矩阵是厄米矩阵（取转置再取复共轭后不变），即 $A_{mn} = A^*${nm} = A^+{mn} ，证明如下：

$$A_{mn} = (\psi_m,\hat{A}\psi_n) = (\hat{A}\psi_m,\psi_n) = (\psi_n,\hat{A}\psi_m)^* = A^*_{nm}$$

特别的，在自身表象下， $A$ 为对角的厄米矩阵，且各对角元素就是 $\hat{A}$ 的本征值，证明如下：

$$A_{mn} = (\psi_m,\hat{A}\psi_n) = (\psi_m,A_n\psi_n) = A_n(\psi_m,\psi_n) = A_n\delta_{mn}$$

例：一维谐振子的坐标、动量和Hamilton量在能量表象中的矩阵表示

对于一维谐振子，可利用Hermite多项式的递推关系求得

$$\hat{x}\psi_n = \frac{1}{\alpha} \left[ \sqrt{\frac{n+1}{2}} \psi_{n+1} + \sqrt{\frac{n}{2}} \psi_{n-1} \right] \ \ \ \hat{p}\psi_n = \mathrm{i}\hbar\alpha \left[ \sqrt{\frac{n+1}{2}} \psi_{n+1} - \sqrt{\frac{n}{2}} \psi_{n-1} \right] \ \ \ \hat{H}\psi_n = \left( n + \frac12 \right) \hbar\omega \psi_n$$

故可得矩阵元的表达式（注意 $m,n = 0,1,2,3,\cdots$ ）

$$x_{mn} = \frac{1}{\alpha} \left[ \sqrt{\frac{n+1}{2}} \delta_{m,n+1} + \sqrt{\frac{n}{2}} \delta_{m,n-1} \right] \ \ \ p_{mn} = \mathrm{i}\hbar\alpha \left[ \sqrt{\frac{n+1}{2}} \delta_{m,n+1} - \sqrt{\frac{n}{2}} \delta_{m,n-1} \right] \ \ \ H_{mn} = \left( n + \frac12 \right) \hbar\omega \delta_{mn}$$

则能量表象中坐标 $x$ ，动量 $p$ 和Hamilton量 $H$ 的矩阵表示为

$$(x_{mn}) = \frac{1}{\alpha} \begin{bmatrix} 0 & \sqrt{1/2} & 0 & 0 & \cdots \ \sqrt{1/2} & 0 & \sqrt{2/2} & 0 & \cdots \ 0 & \sqrt{2/2} & 0 & \sqrt{3/2} & \cdots \ 0 & 0 & \sqrt{3/2} & 0 & \cdots \ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \ \end{bmatrix}$$

$$(p_{mn}) = \mathrm{i}\hbar\alpha \begin{bmatrix} 0 & -\sqrt{1/2} & 0 & 0 & \cdots \ \sqrt{1/2} & 0 & -\sqrt{2/2} & 0 & \cdots \ 0 & \sqrt{2/2} & 0 & -\sqrt{3/2} & \cdots \ 0 & 0 & \sqrt{3/2} & 0 & \cdots \ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \ \end{bmatrix}$$

$$(H_{mn}) = \hbar\omega \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 & 0 & \cdots \ 0 & 3/2 & 0 & 0 & \cdots \ 0 & 0 & 5/2 & 0 & \cdots \ 0 & 0 & 0 & 7/2 & \cdots \ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \ \end{bmatrix}$$

表象变换

本小节在考试中不涉及

量子态的表象变换

考虑两组对易力学量完全集 $F,F'$ ，分别具有正交归一完备的共同本征函数系 ${\psi_k},{\psi'_\alpha}$ ，状态 $\psi$ 在两个表象中的展开分别为

$$\psi = \sum_k a_k\psi_k = \sum_\alpha a'$$\alpha\psi'\alpha

同乘 $\psi'^*_\alpha$ ，积分，可得

$$a'$$\alpha = \sum_k a_k(\psi'\alpha,\psi_k) = \sum_k S_{\alpha k} a_k

其中 $S_{\alpha k } = (\psi'_a,\psi_k)$ ，对于上述式子，可以表示成矩阵乘向量的形式，即

$$\begin{bmatrix} a'$$1 \ a'2 \ \vdots \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} S{11} & S{12} & \cdots \ S_{21} & S_{22} & \cdots \ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \ \vdots \ \end{bmatrix}

记其中的矩阵为 $S$ ，它刻画了两个表象中基矢的关系，上述关系可简记为 $a'=Sa$ 。可以证明 $S$ 是幺正矩阵，即

$$SS^+ = S^+S = I$$

力学量算符的表象变换

考虑两组对易力学量完全集 $F,F'$ ，分别具有正交归一完备的共同本征函数系 ${\psi_k},{\psi'$\alpha}{ψk​},{ψα′​} ，在 $F$ 表象下，力学量算符 $\hat{A}$ 表示为矩阵 $(A${kj}) ，矩阵元 $A_{kj} = (\psi_k,\hat{A}\psi_j)$ ，则在 $F'$ 表象中， $\hat{A}$ 表示为矩阵 $(A'_{\alpha\beta})$ ，矩阵元

$$A'$${\alpha\beta} = (\psi'\alpha,\hat{A}\psi'\beta) = (\sum{k} (\psi_k,\psi'\alpha)\psi_k ,\hat{A} \sum{j} (\psi_j,\psi'\beta)\psi_j) = (\sum{k} S^{\alpha k}\psi_k ,\hat{A} \sum{j} S^{\beta j}\psi_j) \ \ \ = \sum{kj} S_{\alpha k} (\psi_k , \hat{A}\psi_j) S^*{\beta j} = \sum{kj} S_{\alpha k} A_{kj} S^+{j\beta} = (SAS^+){\alpha\beta}

即

$$A' = SAS^+ = SAS^-$$

经过表象变换后，力学量算符的本征值不改变，本征函数可能发生变化。

量子力学的矩阵形式

Schrödinger方程

$$\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) = \hat{H} \psi(x,t)$$

在 $F$ 表象下，将 $\psi(x,t)$ 做展开

$$\psi(x,t) = \sum_k a_k(t)\ \psi_k(x)$$

代入Schrödinger方程可得

$$\mathrm{i}\hbar \sum_k a'_k(t)\ \psi_k(x) = \sum_k a_k(t) \hat{H} \psi_k(x)$$

两边同乘 $\psi^*_j$ ，积分，可得

$$\mathrm{i}\hbar a'$$j(t) = \sum_k H{jk} a_k(t)\ , \kern 2em H_{jk} = (\psi_j,\hat{H}\psi_k)

表示成矩阵形式即为

$$\mathrm{i}\hbar \begin{bmatrix} a'$$1(t) \ a'2(t) \ \vdots \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} H{11} & H{12} & \cdots \ H_{21} & H_{22} & \cdots \ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1(t) \ a_2(t) \ \vdots \ \end{bmatrix}

简记为

$$\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t} = H \Psi$$

平均值

在量子态 $\psi$ 下，力学量 $\hat{A}$ 的平均值为

$$\bar{A} = (\psi,\hat{A}\psi) = (\sum_k a_k\psi_k,\sum_j a_j\hat{A}\psi_j) = \sum_{kj} a^$$k (\psi_k,\hat{A}\psi_j) a_j = \sum{kj} a^k A{kj} a_j \ \ \ = \begin{bmatrix} a^_1 & a^2 & \cdots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A{11} & A_{12} & \cdots \ A_{21} & A_{22} & \cdots \ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \ \vdots \ \end{bmatrix}

简记为

$$\bar{A} = \Psi^+ A \Psi$$

本征方程

算符 $\hat{A}$ 的本征方程为

$$\hat{A} \psi = \lambda \psi$$

其中 $\lambda$ 为本征值，在 $F$ 表象下，将 $\psi$ 做展开，代入，得

$$\sum_{k} a_k \hat{A} \psi_k = \lambda \sum_k a_k \psi_k$$

两边同乘 $\psi^*_j$ ，可得

$$\sum_{k} (\psi_j,\hat{A} \psi_k) a_k = \sum_{k} A_{jk} a_k = \lambda a_j$$

表示成矩阵形式即为

$$\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots \ A_{21} & A_{22} & \cdots \ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \ \vdots \ \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \ \vdots \ \end{bmatrix} \ \Downarrow \ \begin{bmatrix} A_{11}-\lambda & A_{12} & \cdots \ A_{21} & A_{22}-\lambda & \cdots \ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \ \vdots \ \end{bmatrix} = \vec{0}$$

简记为

$$(A - \lambda I) \Psi = 0$$

为了使此关于 $\Psi$ 的方程有非零解，应使矩阵 $(A-\lambda I)$ 不可逆，即

$$\det (A-\lambda I) = 0$$

如果 $A$ 是一个 $N \times N$ 的矩阵，则该方程为 $\lambda$ 的 $N$ 次方程，其有 $N$ 个实根，这些根 ${\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_N}$ 就是本征值，代回方程 $(A-\lambda I)\Psi=0$ ，即可解出对应的本征函数 $\Psi$ 。

若方程 $\det (A-\lambda I) = 0$ 有重根，则出现简并，此时简并态还不能唯一确定。

4.2 Dirac符号

基本表示

同一状态在不同的量子力学表象中所表达的物理内容完全相同，为了更为简便的表示，可以使用Dirac符号，它是一种与表象无关的符号体系。

右矢(ket)和左矢(bra)

量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert空间，空间中的一个矢量（一般为复量）用以标记一个量子态，用一个右矢 $|\ \rangle$ 表示。若要标记某个特殊的态，则在右矢内标上某种记号，例如， $| \psi \rangle$ 表示用波函数 $\psi$ 描述的状态。对于本征态，常用本征值（或对应的量子数）标在右矢内，例如： $| x' \rangle$ 表示坐标本征值为 $x'$ 的本征态； $| p' \rangle$ 表示动量本征值为 $p'$ 的本征态； $| E_n \rangle$ 或 $| n \rangle$ 表示能量本征值为 $E_n$ 的本征态，其中 $n$ 为标记守恒量完全集的本征值的好量子数； $| lm \rangle$ 表示角动量 $(L^2,L_z)$ 的共同本征态，本征值分别为 $l(l+1)\hbar$ 和 $m\hbar$ 。

态的上述表示，都只是一个抽象的态矢，未涉及任何具体的表象。这体现了在任何表象下，本征值都是相同的，（而本征函数可能会不同），而对于一个对易力学量完全集，使用一组量子数表示的一组本征值就可以唯一确定本征态。

左矢 $\langle \ |$ 表示共轭空间中与 $| \ \rangle$ 相应的一个抽象态矢，两者的关系为 $\langle \psi | = | \psi \rangle^+$ 。若 $| \psi \rangle = C_1\ | \phi_1 \rangle + C_2\ | \phi_2 \rangle$ ，则 $\langle \psi | = C_1^$\ \langle \phi_1 | + C_2^ \langle \phi_2 | 。

借助线性代数的角度来看，右矢为列向量，而左矢为取复共轭后的行向量。

内积（标积）

态矢 $\langle \phi |$ 与 $| \psi \rangle$ 的标积 $(\phi,\psi) = \langle \phi || \psi \rangle = \langle \phi | \psi \rangle$ ，而 $(\psi,\phi)=(\phi,\psi)^* = \langle \phi | \psi \rangle^* = \langle \psi | \phi \rangle$ 。

若 $\langle \phi | \psi \rangle = 0$ ，则称 $| \psi \rangle$ 与 $| \phi \rangle$ 正交；若 $\langle \psi | \psi \rangle = 1$ ，则称 $| \psi \rangle$ 为归一化态矢。

设力学量完全集 $F$ 的本征态（离散谱）记为 $| k \rangle$ ，它们的正交归一性表示为

$$\langle k | j \rangle = \delta_{kj}$$

对于连续谱，如坐标本征态，正交归一性表示为

$$\langle x' | x'' \rangle = \delta(x'-x'')$$

算符对态的作用

作用方式

算符对右矢向右作用仍为一个右矢，对左矢向左作用仍为一个左矢，即

$$\langle \phi | \hat{A} | \psi \rangle = \langle \phi | \left[ \hat{A} | \psi \rangle \right] = \langle \phi | \hat{A} \psi \rangle \ \langle \phi | \hat{A} | \psi \rangle = \left[ \langle \phi | \hat{A} \right] | \psi \rangle = \langle \hat{A}^+ \phi | \psi \rangle$$

注：若 $\hat{A}$ 为厄米算符，则第二个式子最后等于 $\langle \hat{A} \phi | \psi \rangle$ 。

本征方程与平均值的表示

力学量 $A$ 的本征方程表示为

$$\hat{A} | \psi \rangle = A' | \psi \rangle$$

其中 $A'$ 为本征值， $\psi$ 为本征态。

力学量 $A$ 的平均值表示为

$$\bar{A} = \frac{(\psi,\hat{A}\psi)}{(\psi,\psi)} = \frac{\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle}{\langle \psi | \psi \rangle}$$

投影算符

设在 $F$ 表象中，基矢记为 $| k \rangle$ ，态矢 $| \psi \rangle$ 可用 $| k \rangle$ 展开，即

$$| \psi \rangle = \sum_k a_k | k \rangle$$

展开系数

$$a_k = (\psi_k,\psi) = \langle k | \psi \rangle$$

代入可得

$$| \psi \rangle = \sum_k \langle k | \psi \rangle | k \rangle = \sum_k | k \rangle \langle k | \psi \rangle$$

式中 $| k \rangle \langle k |$ 是一个投影算符

$$\hat{P}_k = | k \rangle \langle k |$$

它对任何态矢 $| \psi \rangle$ 作用后，就得到态矢 $| \psi \rangle$ 在基矢 $| k \rangle$ 方向上的分量矢量，即

$$\hat{P}_k | \psi \rangle = | k \rangle \langle k | \psi \rangle = a_k | k \rangle$$

根据 $| \psi \rangle = \sum_k | k \rangle \langle k | \psi \rangle$ ，可以得到封闭关系

$$\sum_k | k \rangle \langle k | = I$$

这正是这一组基矢 $| k \rangle$ 的完备性的表现，如果对于连续谱，则求和应换为积分，譬如坐标本征态下

$$\int \mathrm{d}x'\ | x' \rangle \langle x' | = I$$

态在具体表象中的表示

态在坐标表象下的表示

态 $| \psi \rangle$ 向坐标的本征函数系 ${ | x_0 \rangle : -\infty < x_0 < +\infty}$ 作展开，

$$| \psi \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}x_0 | x_0 \rangle \langle x_0 | \psi \rangle$$

在坐标表象下，本征函数为 $\delta(x-x_0)$ ，故展开式为

$$\psi (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} C(x_0)\ \delta(x-x_0)\ \mathrm{d}x_0 = C(x)$$

其中展开系数

$$C(x_0) = \langle x_0 | \psi \rangle$$

两式结合可以得到

$$\psi(x) = \langle x | \psi \rangle$$

事实上，这个式子对任意表象都是成立的，即在力学量 $A$ 的表象下，有 $\psi(A) = \langle A | \psi \rangle$ 。

故坐标在本征值 $x_0$ 下的本征波函数

$$\langle x | x_0 \rangle = \delta(x-x_0)$$

动量在本征值 $p_0$ 下的本征波函数

$$\langle x | p_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p_0x}$$

态在动量表象下的表示

$$\psi(p) = \langle p | \psi \rangle$$

坐标在本征值 $x_0$ 下的本征波函数

$$\langle p | x_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}px_0}$$

动量在本征值 $p_0$ 下的本征波函数

$$\langle p | p_0 \rangle = \delta(p-p_0)$$

力学量算符在具体表象中的矩阵表示

在本小节中主要是给出一些例子。

一维坐标、动量、哈密顿量在坐标表象与动量表象中的矩阵表示

坐标表象

坐标 $\hat{x}$ 的矩阵表示

$$(x)_{x'x''} = \langle x' | \hat{x} | x'' \rangle = \left[ \langle x' | \hat{x} \right] x'' \rangle = x' \langle x' | x'' \rangle = x' \delta(x'-x'')$$

动量 $\hat{p}$ 的矩阵表示

$$(p)_{x'x''} = \langle x' | \hat{p} | x'' \rangle = \int \int \mathrm{d}p'\ \mathrm{d}p''\ \langle x' | p' \rangle\ \langle p' | \hat{p} | p'' \rangle\ \langle p'' | x'' \rangle \ \ \ = \int \int \mathrm{d}p'\ \mathrm{d}p''\ \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p'x'}\ p' \delta(p'-p'')\ \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p''x''} \ \ \ = \frac{1}{2\pi\hbar} \int \mathrm{d}p'\ p'\ \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p'(x'-x'')} \ \ \ = \frac{1}{2\pi\hbar} \int \mathrm{d}p' \left(-\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial x'} \right) \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p'(x'-x'')} \ \ \ = -\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial x'} \frac{1}{2\pi\hbar} \int \mathrm{d}p'\ \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p'(x'-x'')} \ \ \ = -\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial x'} \delta(x'-x'')$$

哈密顿量 $\hat{H}$ 的矩阵表示

$$(H)_{x'x''} = \langle x' | \hat{H} | x'' \rangle = \frac{1}{2m} \langle x' | \hat{p}^2 | x'' \rangle + \langle x' | \hat{V} | x'' \rangle \ \ \ = \frac{1}{2m} \int \int \mathrm{d}p'\ \mathrm{d}p''\ \langle x' | p' \rangle\ \langle p' | \hat{p}^2 | p'' \rangle\ \langle p'' | x'' \rangle + \langle x' | V(x) | x'' \rangle \ \ \ = \frac{1}{2m} \int \int \mathrm{d}p'\ \mathrm{d}p''\ \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p'x'}\ p'^2 \delta(p'-p'')\ \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p''x''} + V(x') \langle x' | x'' \rangle \ \ \ = \frac{1}{2m} \frac{1}{2\pi\hbar} \int \mathrm{d}p'\ p'^2\ \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p'(x'-x'')} + V(x') \delta(x'-x'') \ \ \ = \frac{1}{2m} \frac{1}{2\pi\hbar} \int \mathrm{d}p' \left(-\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial^2 x'} \right) \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p'(x'-x'')} + V(x') \delta(x'-x'') \ \ \ = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial^2 x'} \frac{1}{2\pi\hbar} \int \mathrm{d}p'\ \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p'(x'-x'')} + V(x') \delta(x'-x'') \ \ \ = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x'^2} \delta(x'-x'') + V(x') \delta(x'-x'')$$

动量表象

坐标 $\hat{x}$ 的矩阵表示

$$(x)_{p'p''} = \langle p' | \hat{x} | p'' \rangle = \int \int \mathrm{d}x'\ \mathrm{d}x''\ \langle p' | x' \rangle\ \langle x' | \hat{x} | x'' \rangle\ \langle x'' | p'' \rangle \ \ \ = \int \int \mathrm{d}x'\ \mathrm{d}x''\ \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p'x'}\ x' \delta(x'-x'')\ \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p''x''} \ \ \ = \frac{1}{2\pi\hbar} \int \mathrm{d}x'\ x'\ \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(p'-p'')x'} \ \ \ = \frac{1}{2\pi\hbar} \int \mathrm{d}x' \left(\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial p'} \right) \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(p'-p'')x'} \ \ \ = \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial p'} \frac{1}{2\pi\hbar} \int \mathrm{d}x'\ \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(p'-p'')x'} \ \ \ = \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial p'} \delta(p'-p'')$$

动量 $\hat{p}$ 的矩阵表示

$$(p)_{p'p''} = \langle p' | \hat{p} | p'' \rangle = \left[ \langle p' | \hat{p} \right] p'' \rangle = p' \langle p' | p'' \rangle = p' \delta(p'-p'')$$

哈密顿量 $\hat{H}$ 的矩阵表示

$$(H)_{p'p''} = \langle p' | \hat{H} | p'' \rangle = \frac{1}{2m} \langle p' | \hat{p}^2 | p'' \rangle + \langle p' | \hat{V} | p'' \rangle \ \ \ = \frac{p'^2}{2m} \delta(p'-p'') + \langle p' | V\left( \mathrm{i}\hbar{\frac{\partial}{\partial p}} \right) | p'' \rangle \ \ \ = \frac{p'^2}{2m} \delta(p'-p'') + V\left( \mathrm{i}\hbar{\frac{\partial}{\partial p'}} \right) \langle p' | p'' \rangle \ \ \ = \frac{p'^2}{2m} \delta(p'-p'') + V\left( \mathrm{i}\hbar{\frac{\partial}{\partial p'}} \right) \delta(p'-p'')$$

一维Schrödinger方程在坐标表象与动量表象中的表示

势场 $V$ 中的Schrödinger方程为

$$\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} | \psi(t) \rangle = \hat{H} | \psi(t) \rangle = (T+V) | \psi(t) \rangle$$

坐标表象

用 $\langle x |$ 左乘Schrödinger方程可得

$$\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle x | \psi(t) \rangle = \langle x | \hat{H} | \psi(t) \rangle$$

根据 $\langle x| \psi(t) \rangle = \psi(x,t)$ ，可得

$$\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) = \int \mathrm{d}x'\ \langle x | \hat{H} | x' \rangle\ \langle x' | \psi(t) \rangle \ \ \ = \int \mathrm{d}x'\ \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial^2 x} \delta(x-x') + V(x) \delta(x-x') \right] \psi(x',t) \ \ \ = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right] \psi(x,t)$$

动量表象

用 $\langle p |$ 左乘Schrödinger方程可得

$$\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle p | \psi(t) \rangle = \langle p | \hat{H} | \psi(t) \rangle$$

根据 $\langle p | \psi(t) \rangle = \psi(p,t)$ ，可得

$$\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(p,t) = \int \mathrm{d}p'\ \langle p | \hat{H} | p' \rangle\ \langle p' | \psi(t) \rangle \ \ \ = \int \mathrm{d}p'\ \left[ \frac{p^2}{2m} \delta(p-p') + V\left( \mathrm{i}\hbar{\frac{\partial}{\partial p}} \right) \delta(p-p') \right] \psi(p',t) \ \ \ = \left[ \frac{p^2}{2m} + V\left( \mathrm{i}\hbar{\frac{\partial}{\partial p}} \right) \right] \psi(p,t)$$

一维动能、势能平均值在坐标表象与动量表象中的表示

坐标表象

动能 $T = \frac{p^2}{2m}$ 平均值

$$\bar{T} = \langle \psi | T | \psi \rangle = \langle \psi | \frac{p^2}{2m}| \psi \rangle \ \ \ = \frac{1}{2m} \int \int \mathrm{d}x\ \mathrm{d}x'\ \langle \psi | x \rangle\ \langle x | p^2 | x' \rangle\ \langle x' | \psi \rangle \ \ \ = \frac{1}{2m} \int \int \mathrm{d}x\ \mathrm{d}x'\ \psi^$$(x) \left[ -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial^2 x} \delta(x-x') \right] \psi(x') \ \ \ = \frac{1}{2m} \int \mathrm{d}x\ \psi^(x) \left( -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \right) \psi(x)

势能 $V(x)$ 平均值

$$\bar{V} = \langle \psi | V(x) | \psi \rangle \ \ \ = \int \int \mathrm{d}x\ \mathrm{d}x'\ \langle \psi | x \rangle\ \langle x | V(x) | x' \rangle\ \langle x ' | \psi \rangle \ \ \ = \int \int \mathrm{d}x\ \mathrm{d}x'\ \psi^$$(x)\ V(x) \delta(x-x')\ \psi(x') \ \ \ = \int \mathrm{d}x\ \psi^(x) V(x) \psi(x)

动量表象

动能 $T = \frac{p^2}{2m}$ 平均值

$$\bar{T} = \langle \psi | T | \psi \rangle = \langle \psi | \frac{p^2}{2m}| \psi \rangle \ \ \ = \frac{1}{2m} \int \int \mathrm{d}p\ \mathrm{d}p'\ \langle \psi | p \rangle\ \langle p | p^2 | p' \rangle\ \langle p' | \psi \rangle \ \ \ = \frac{1}{2m} \int \int \mathrm{d}p\ \mathrm{d}p'\ \psi^$$(p)\ p^2 \delta(p-p')\ \psi(p') \ \ \ = \frac{1}{2m} \int \mathrm{d}p\ \psi^(p) p^2 \psi(p)

势能 $V(x)$ 平均值

$$\bar{V} = \langle \psi | V \left (\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial p} \right) | \psi \rangle \ \ \ = \int \int \mathrm{d}p\ \mathrm{d}p'\ \langle \psi | p \rangle\ \langle p | V \left (\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial p} \right) | p' \rangle\ \langle p' | \psi \rangle \ \ \ = \int \int \mathrm{d}p\ \mathrm{d}p'\ \psi^$$(p)\ V \left (\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial p} \right) \delta(p-p')\ \psi(p') \ \ \ = \int \mathrm{d}p\ \psi^(p) V \left (\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial p} \right) \psi(p)